벡터 수학

수학에서 벡터 는 크기와 방향은 있지만 위치는 가지지 않는 양입니다. 그러한 양의 예는 속도와 가속입니다. 현대 형태로, 벡터는 19 세기 후반에 요시야 윌라드 깁스와 올리버 헤비 사이드 (각각 미국과 영국의)가 독립적으로 벡터 분석을 개발하여 스코틀랜드 물리학 자 제임스 클러 크 맥스웰 (James Clerk Maxwell)이 발견 한 새로운 전자기 법칙을 표현했습니다. 그 이후로 물리, 역학, 전기 공학 및 기타 과학에서 벡터는 힘을 수학적으로 설명하는 데 필수적이되었습니다.

선형 대수학: 벡터 및 벡터 공간

선형 대수는 일반적으로 크기와 방향을 모두 가진 양으로 이해되는 벡터 연구로 시작됩니다. 벡터 s

벡터는 길이가 그 크기 인 직선 세그먼트로 시각화 될 수 있습니다. 벡터 물질의 크기 및 방향 만이 중요하기 때문에, 임의의 지향 세그먼트는 동일한 길이 및 방향 중 하나로 대체 될 수 있지만, 좌표 시스템의 원점과 같은 다른 지점에서 시작될 수있다. 벡터는 일반적으로 v와 같은 굵은 글씨로 표시됩니다. 벡터의 크기 또는 길이는 | v | 또는 v로 표시되며, 스칼라로 알려진 1 차원 수량 (예: 일반 숫자)을 나타냅니다. 벡터에 스칼라를 곱하면 벡터의 길이는 바뀌지 만 방향은 변경되지 않습니다. 음수를 곱하면 벡터의 화살표 방향이 바뀐다는 점을 제외하고. 예를 들어, 벡터에 1/2을 곱하면 같은 방향으로 벡터의 절반 길이가되고, 벡터에 -2를 곱하면 벡터의 길이가 두 배가되지만 반대 방향을 향하게됩니다.

두 벡터를 더하거나 뺄 수 있습니다. 예를 들어, 벡터 v와 w를 그래픽으로 더하거나 빼려면 (그림 참조) 각각을 원점으로 이동하고 두 벡터에 의해 형성된 평행 사변형을 완성하십시오. 그러면 v + w는 평행 사변형의 하나의 대각선 벡터이고 v-w는 다른 대각선 벡터입니다.

두 벡터를 곱하는 방법에는 두 가지가 있습니다. 교차 또는 벡터 곱은 v × w로 표시되는 다른 벡터를 생성합니다. 교차 곱 크기는 | v × w | = vw sin θ, 여기서 θ는 벡터 사이의 작은 각도 (“꼬리”가 함께 배치 된)입니다. v × w의 방향은 v와 w에 수직이고, 그 방향은 그림과 같이 오른쪽 규칙으로 시각화 할 수 있습니다. 교차 생성물은 어떤 지점에서 표면에 대한 "정상"(직각 수직선)을 얻기 위해 자주 사용되며, 움직이는 하전 입자의 토크와 자기력을 계산할 때 발생합니다.

두 벡터를 곱하는 다른 방법을 점 곱 또는 스칼라 곱이라고하는 스칼라 곱이라고합니다. 내적은 v ∙ w = vw cos θ로 주어집니다. 여기서 θ는 벡터 사이의 작은 각도입니다. 내적은 두 벡터 사이의 각도를 찾는 데 사용됩니다. (벡터가 수직 인 경우 내적은 0 임에 유의한다.) 전형적인 물리적 적용은 움직이는 물체 d에 작용하는 일정한 힘 F에 의해 수행되는 작업 W를 찾는 것이다; 작업은 W = Fd cos θ로 주어진다.