논리의 역사

모델 이론의 개발

고델 (Gödel)과 스콜 렘 (Skolem)이 얻은 결과와 같은 결과는 의미 론적이거나, 대부분의 논리 학자들이 선호하는 것처럼 모델 이론적이었다. 그러나 논리적 의미론에 대한 일반적인 이론은 한동안 개발되지 않았습니다. 독일 태생의 철학자 인 루돌프 카나 프 (Rudolf Carnap)는 Logische Syntax der Sprache (1934; 논리 논리 구문), 의미론 소개 (1942) 및 의미와 필요성 (1947)에서 의미론의 체계적인 이론을 제시하려고 시도했다. 그럼에도 불구하고 그의 연구는 다른 철학자들이 Carnap의 접근 방식을 추구하지 못하도록했던 Quine으로부터 날카로운 철학적 비판을 받았다.

현재 모델 이론이라고 불리는 초기 건축가는 Tarski와 독일 출신의 수학자 인 Abraham Robinson이었습니다. 그들의 초기 관심은 주로 다른 대수 시스템의 모형 이론에 있었고, 궁극적 목표는 일종의 보편적 대수 또는 대수 구조의 일반 이론이었습니다. 그러나 1950 년대 후반과 60 년대 초반 Tarski와 그의 동료들이 집중적으로 연구 한 결과는 일반적인 이론이 아니라 풍부한 모델 이론적 개념과 방법이었다. 이러한 개념 중 일부는 서로 다른 종류의 모델을 분류하는 데 중점을 두었습니다. 예를 들어 "푸 푸 레스트"(원자 모델) 또는 "풍부한"(포화 모델) 이스라엘 이론가 인 사 하론 쉴라 (Saharon Shelah)는 안정성 이론으로 알려진 다양한 종류의 모델에 대한보다 정교한 연구를 수행했다.

모델 이론에서 중요한 발전은 미국 논리 학자 캐롤 카르 프 (Carol Karp)와 다른 사람들에 의한 타르 스키의 영향으로 개척 된 무한 논리 이론이었다. 논리식은 다른 방식으로 무한 할 수 있습니다. 처음에 무한대는 무한히 긴 분리 및 연결과 관련해서 만 취급되었습니다. 나중에, 무한히 긴 일련의 정량자가 인정되었다. 후에도, 어떤 종류의 하위 공식 체인도 무한히 길어질 수있는 논리가 연구되었습니다. 이러한 문장의 경우 Tarski 유형의 진리 정의는 더 긴 공식에 대한 진실이 정의되는 최소 원자 공식의 존재를 전제하기 때문에 사용할 수 없습니다. 따라서 무한 논리는 비구 성적 진실 정의의 개발을 촉발 시켰으며, 이는 처음에는 선택 게임의 개념의 관점에서 공식화되었다.

진실을 정의하기위한 게임의 사용은 결국 게임 이론적 의미론으로 알려진 전체 의미론 분야의 발전으로 이어졌으며, 이는 Tarski- 타입 의미론 이론과 경쟁하게되었다 (게임 이론 참조). 이 의미론에서 진리를 정의하는 데 사용되는 게임은 공식적인 증명 증명 게임이 아니라 관련 담화 세계의 개인들 사이에서 "야외"로 재생됩니다.

증명 이론과 모델 이론의 인터페이스

20 세기 후반 논리에서 가장 중요한 발전 중 일부는 증명 이론과 모델 이론의 아이디어가 포함되었습니다. 예를 들어 1955 년에 W. Beth Evert와 다른 사람들은 Gentzen 유형의 증거가 좌절 된 카운터 모델 구조로 해석 될 수 있음을 발견했습니다. (핀란드 철학자 Jaakko Hintikka는 트리 기법이라고하는 동등한 증명 기법에 대해 동일한 해석을 독립적으로 제안했습니다.) G가 F의 논리적 결과임을 보여주기 위해 모델을 단계별로 설명하려고합니다. 여기서 F는 참이지만 G는 거짓입니다. 그러한 건축을위한 부기 장치는 Beth가 의미 상 tableau 또는 테이블이라고 불렀습니다. 시도 된 반대 사례 구성이 가능한 모든 방향에서 명백한 모순의 형태로 막 다른 골목으로 이끄는 경우, F가 F이면 G는 참이 될 수 없습니다. 다시 말해, G는 F의 논리적 결과입니다. tableau 구성 규칙은 반대 방향으로 읽히는 cut-free Gentzen 유형의 순차적 규칙과 구문 적으로 동일합니다.

힐베르트의 증명 이론의 맥락에서 비롯된 특정 아이디어는 일반 언어 계량 자의 모든 이론적 의미 (모델의 이론적 의미)에 대한 통찰을 이끌어 냈다. 힐버트와 그의 동료들이 사용하는 한 가지 방법은 정량 자의 역할이 적절한 선택 용어에 의해 수행되는 것으로 생각하는 것이었다. 힐버트는 엡실론 용어라고 불렀다. 주요 아이디어는 대략 다음과 같이 표현됩니다. “누군가 창문을 깨뜨렸다”와 같은 실존 제안의 논리는 해당되는 문장 화 된“John Doe broke the window”를 연구함으로써 이해할 수 있습니다. 누가 그랬어? (이러한 가정 된 표본 개인은 때때로“임의 개인”이라고도합니다.) 힐버트는 엡실론 용어 사용 규칙을 제시하고 모든 정량자를 대체 할 수 있음을 보여주었습니다.

엡실론 미적분학 결과는 정량 자의 의미의 역동적 인 측면을 보여줍니다. 특히, 그것들의 의미는 그들이 특정한 종류의 가치를“범위”한다는 생각에 의해 소진되지 않습니다. 양자화 기의 다른 주요 기능은 변수가 결합 된 양자화 기 간의 공식적인 의존성 측면에서 변수 간의 의존성을 나타내는 것이다. 평범한 언어에는 변수가 없지만, 그러한 의존성의 개념을 설명하기 위해 구두의 예가 사용될 수 있습니다. “모두가 적어도 한 명의 적을 가졌다”는 문장이 사실이 되려면, 어떤 사람이든 그의적인 적어도 한 명의“증인 개인”이 존재해야합니다. 적의 정체성은 주어진 개인에 달려 있기 때문에, 적의 정체성은 주어진 개인을 인수로 취하는 특정 기능의 가치로 간주 될 수 있습니다. 이것은 예제 문장에서 일부 수량 화가 모두 수량 화기에 의존한다는 것을 기술적으로 표현합니다.

1 차 논리 문장에서 변수의 종속성을 설명하는 함수는 Skolem에 의해 처음 고려되었으며 Skolem 함수라고합니다. 그것들의 중요성은 1 차 문장에 대한 진실이 그들에 의해 정의 될 수 있다는 사실에 의해 지시된다: 1 차 문장은 Skolem 함수의 전체 배열이 존재하는 경우에만 참이다. 이런 식으로, 타르 스키 형식의 진실 정의가 적용되지 않는 상황에서 진실의 개념을 다룰 수 있습니다. 실제로, 논리 학자들은 Tarski가 사용하는 재귀의 종류에 대한 시작점이 없거나 구성의 실패로 인해 Tarski 유형 정의가 실패 할 때 자발적으로 Skolem 함수 정의 (또는 이와 동등한 것)를 사용했습니다.

양자화 기 사이의 의존 관계가 변수들 간의 의존 관계를 나타내는데 어떻게 사용될 수 있는지 알면, Frege와 Russell으로 돌아가는 양자화 기의 수신 된 처리가 완벽하게 가능한 의존성 패턴을 표현할 수 없다는 점에서 결함이 있음이 명백해진다 그것. 그 이유는 한정자의 범위가 재현 할 수있는 패턴을 제한하는 구조가 제한되어 있기 때문입니다. 이러한 제한이 체계적으로 제거되면“독립 친화적”1 차 논리라는 풍부한 논리를 얻게되는데, 이는 1990 년대 Jaakko Hintikka가 처음으로 설명한 것입니다. 평범한 1 차 논리로 표현할 수없는 기본 논리 및 수학 개념 중 일부는 등방성, 무한대 및 진실을 포함하여 1 차 수준에서 독립 친화적 논리로 표현할 수있게되었습니다. (따라서, 주어진 1 차 언어에 대한 진실은 이제 동일한 1 차 언어로 표현 될 수 있습니다.) 독립 친화적 인 논리에서 진실은 구성 적 속성이 아니기 때문에 진실 정의가 가능합니다. 독립 친화적 인 논리의 발견은 현대 논리 이론의 여러 측면을 재검토하게했다.